پایداری و درجه نامعینی سازه ها در تحلیل سازه

در این مطلب قصد داریم که مفاهیم پایداری و ناپایداری در سازه و همچنین درجه نامعینی سازه رو به طور کامل بیان کنیم، که جزء سرفصل های مهم درس تحلیل سازه برای کنکور ارشد است.

تیتر مطالبی که در این مطلب خواهید آموخت:

سرفصل های تحلیل سازه برای کنکور ارشد

پایداری در تحلیل سازه

یک سازه را وقتی در حال تعادل می گویند که سه معادله زیر که معادلات تعادل نامیده می شوند ارضاگردند:

در حالت خاص و ساده تعادل موجود است که در زیر آنها را بررسی میکنیم:

۱- عضو دو نیرویی

جسمی تحت اثر دو نیروی خارجی وارد بر نقاط a و b نشان داده شده است. چنانچه جسم در حال تعادل باشد به راحتی ثابت می شود که دو نیروی مزبور بایستی از نظر مقدار مساوی و از نظر جهت مخالف یکدیگر باشند. به چنین عضوی، عضو دو نیرویی گفته میشود.

۲- عضو سه نیرویی

شکل زیر جسمی را نشان میدهد که تحت اثر سه نیروی خارجی وارد بر نقاط a و b و c قرار دارد.در صورتی که جسم در حال تعادل باشد ثابت می شود که این سه نیرو باید در یک نقطه مانند O همگرا باشند، چون در غیر اینصورت اگر حول محل تلاقی هر دو نیرویی از این سه نیرو گشتاور بگیریم، گشتاور کل صفر نخواهد شد.

یک حالت حدی برای عضو سه نیرویی حالتی است که  نقطه O به سمت بی نهایت رود که در این صورت سه نیرو موازی می باشند.

ناپایداری در تحلیل سازه

علاوه بر سازه هایی که قید لازم را برای حفظ تعادل ندارند، سازه هایی که تحت شرایط خاصی از نظر بارگذاری پایدار بوده و در شرایط کلی بارگذاری ناپایدار می باشند، دارای تعادل ناپایدار بوده و این نوع سازه ها نیز جزء سازه های ناپایدار تقسیم بندی می شوند. ناپایداری سازه ها بر ۳ نوع است:

۱- ناپایدار ایستایی

چنانچه درجه نامعینی سازه ای منفی شود بدان معناست که سازه قید لازم را برای حفظ تعادل دارا نیست و ناپایدار ایستایی محسوب میشود. مانند سازه زیر که درجه نامعینی آن ۱- است و سازه پایداری خود را به علت نداشتن یک تکیه گاه در C برای تعادل BC از دست داده است.

۲- ناپایدار هندسی داخلی

در این حالت هندسه داخلی سازه نمی تواند شرایط تعادل را ارضا کند. مثلا در سازه الف تحت اثر بار قائم P در گره B، تعادل قائم در این گره ارضا نمی شود و این سازه ناپایدار هندسی داخلی است. در سازه ب به شرطی که a=c باشد براحتی با روش بار صفر می توان نشان داد که سازه می تواند تحت اثر نیروهای داخلی خود بدون هیچگونه بارگذاری خارجی تعادل داشته باشد و بنابراین نیروی منحصر بفردی برای اعضای خرپا تحت اثر یک بارگذاری مشخص بدست نمی آید و این خرپا نیز ناپایدار هندسی داخلی است و به شرط a≠c پایدار میگردد.

۳- ناپایدار هندسی خارجی در تحلیل سازه

این ناپایداری به علت وضعیت نامناسب تکیه گاه ها ایجاد میشود و بر دو نوع است:

الف) در حالتیکه همه عکس العمل های تکیه گاهی موازی باشند، سازه در برابر نیرویی که مؤلفه ای در راستای عمود بر راستای عکس العمل های تکیه گاهی داشته باشد تعادل ندارد و ناپایدار است. در شکل زیر عکس العمل های تکیه گاهی همگی قائم و موازی هستند و سازه ناپایدار است. چون اگر نیروی در راستای افقی به سازه وارد شود سازه شتاب می گیرد و تعادل استاتیکی نخواهد داشت.

ب) در حالتیکه همه عکس العمل های تکیه گاهی از یک نقطه بگذرند، سازه در برابر لنگر خمشی و با نیرویی که از نقطه تقاطع عکس العملهای تکیه گاهی نگذرد تعادل ندارد و ناپایدار است. در شکل زیر عکس العمل های تکیه گاهی همگی از F میگذرند و سازه ناپایدار است، چون اگر سازه تحت اثر نیرویی که از گره F نمیگذرد قرار بگیرد و حول گره F لنگر بگیریم می بینیم که رابطه M=0∑ برقرار نمیشود.

درجه نامعینی: درجه نامعینی سازه برابر است با مجموع درجه نامعینی داخلی و خارجی سازه که برابر می شود با تفاضل تعداد کل معادلات تعادل سازه از تعداد کل مجهولات آن.

درجه نامعینی داخلی سازه برابر است با تعداد مؤلفه های داخلی سازه اعم از برش و نیروی محوری و لنگر خمشی که نمی توان آنها را از روابط استاتیک بدست آورد و درجه نامعینی خارجی سازه برابر است با تعداد عکس العملهای تکیه گاهی که نمی توان آنها را از روابط استاتیک بدست آورد.

اگر تعداد کل معادلات تعادل سازه بیشتر از تعداد کل مجهولات آن باشد معادلات تعادل نمی تواند ارضا شود و سازه ناپایدار است. اگر تعداد کل معادلات تعادل سازه برابر با تعداد کل مجهولات آن باشد سازه معین است و این بدان معناست که سازه از لحاظ داخلی و خارجی معین است، البته پایداری سازه باید بررسی شود.

اگر تعداد کل معادلات سازه کمتر از تعداد کل مجهولات آن باشد سازه نامعین است و البته باز هم باید پایداری سازه بررسی شود. قابل ذکر است که به سازه های معین، ایزواستاتیک و به سازه های نامعین، هیپراستاتیک نیز می گویند.

درجه نامعینی انواع مختلف سازه ها

۱- خرپای مسطح

اگر تعداد اعضای خرپا M تعداد کل گره ها N و تعداد عکس العملهای تکیه گاهی R باشد، با توجه به اینکه در هر عضو خرپا نیروی محوری آن مجهول است و در هر گره خرپا می توان در معادله تعادل نیرو در راستاهای افقی و قائم نوشت نتیجه میشود که درجه نامعینی خرپا برابر است با:

D.I. = M + R – 2N

۲- خرپای فضایی

اگر تعداد اعضای خرپا M، به تعداد کل گره ها N و تعداد عکس العملهای تکیه گاهی R باشد، با توجه به اینکه در هر عضو خرپا نیروی محوری آن مجهول است و در هر گره خرپا می توان سه معادله تعادل نیرو در فضا را نوشت نتیجه میشود که درجه نامعینی خرپا برابر است با:

D.I. = M + R – 3N

۳-قاب مسطح

اگر تعداد اعضای قاب M، تعداد کل گره ها N و تعداد عکس العملهای تکیه گاهی R و تعداد شرایط داخلی قاب C (مخفف Conditions) باشد با توجه به اینکه در هر گره قاب مسطح می توان سه معادله تعادل را نوشت و در هر عضو قاب مسطح سه مجهول (برش و لنگر خمشی و نیروی محوری) وجود دارد، درجه نامعینی قاب برابر است با:

(۳N+C) – (3M+R) = .D.I

در محاسبه شرایط داخلی قاب مسطح از فرمول های زیر استفاده میکنیم:

در شکل (الف) که m عضو به یکدیگر مفصل شده اند ۱ – C= m است، علت اینکه C= m – 1 است و C=m نیست این است که چنانچه m عضو در یک گره به یکدیگر متصل شده باشند اگر تعادل لنگرها را در آن گره بنویسیم نتیجه می شود که مجموع لنگرها در آن گره برابر صفر است و بنابراین معلوم بودن لنگر ۱- m عضو در آن گره، لنگر عضو mام نیز معلوم می شود. در این اتصال مفصلی با صفر بودن لنگر ۱- m عضو در مفصل، لنگر عضو mام نیز بالاجبار باید برابر صفر باشد و بنابراین تعداد شرایط ما ۱- C= m است و نه C=m.

در شکل (ب) که مفصل برشی داریم برش صفر است و در این اتصال برش منتقل نمی شود و ۱=C می باشد. در شکل (ج) برش و لنگر منتقل می شود ولی نیروی محوری منتقل نمی شود و ۱=C می باشد. در شکل (د) فقط برش منتقل میشود ولی نیروی محوری و لنگر منتقل نمی شود و ۲ = C میباشد.

۴- قاب فضائی

اگر تعداد اعضای قاب M تعداد کل گره ها N، تعداد عکس العملهای تکیه گاهی R و تعداد شرایط داخلی C باشد با توجه به اینکه در هر گره قاب فضایی می توان شش معادله تعادل را نوشت و در هر (عضو) قاب فضایی شش مجهول (دو برش و دو لنگر خمشی و یک نیروی محوری و یک لنگر پیچشی) وجود دارد، درجه نامعینی قاب برابر است با:

(۶N+C) – (6M+R) = .D.I

در قاب فضایی باید توجه داشت که اگر m عضو به یکدیگر مفصل شده باشند با توجه به این مجموع لنگرها در مفصل برابر صفر است و در مفصل می توان در سه جهت معادلات تعادل لنگر را نوشت بنابراین:

(m-1)C= 3

نکته مهم دیگر در محاسبه C در قاب فضایی این است که با توجه به صفر بودن لنگر پیچشی در یک انتهای عضو دو سر مفصل اگر معادله تعادل لنگر را در راستای عضو بنویسیم نتیجه میشود که لنگر پیچشی انتهای دیگر عضو دو سر مفصل نیز باید صفر باشد و چون صفر بودن لنگر پیچشی در انتهای دیگر عضو دو سر مفصل نیز بعنوان یک شرط (در محاسبه (m-1)C= 3 ) در نظر گرفته شده است، در نتیجه یک شرط را اضافه در نظر گرفته ایم و در محاسبه شرایط با استفاده از رابطه (m-1)C= 3 باید به ازای هر عضو دو سر مفصل در سازه فضایی یک واحد از شرایط (C) کم کنیم تا شرایط درست محاسبه شود.

۵- شبکه

شبکه سازه مسطحی است که از اعضای موازی و متقاطع (معمولا عمود بر هم) تشکیل شده است و بارگذاری آن عمود بر صفحه ای است که سازه در آن قرار دارد. اتصال اعضای شبکه می تواند ساده و یا صلب باشد. در شبکه زیر در اثر بارگذاری عمود بر صفحه شبکه، نیروهای داخلی که در شبکه بوجود می آیند عبارتند از برش (در راستای بارگذاری) و یک مؤلفه لنگر خمشی و یک مؤلفه لنگر پیچشی، در نتیجه برای هر گره و هر عضو شبکه سه مجهول در نظر گرفته میشود.

چنانچه اتصال در یک گره شبکه ساده باشد به آن اتصال قیچی میگویند و این بدان معناست که لنگرهای
M1 و M2 برابر صفر هستند و در آن گره تنها یک برش در راستای بارگذاری رد و بدل می شود و بنابراین ۲=C میباشد مشخص است که برای گره صلب ۰ = C میباشد.

روش محاسبه درجه نامعینی شبکه دقیقا مانند روش محاسبه درجه نامعینی قاب های مسطح است: اگر تعداد اعضای شبکه M تعداد کل گره ها N، تعداد عکس العملهای تکیه گاهی R و تعداد شرایط داخلی C باشد با توجه به اینکه در هر گره شبکه می توان سه معادله تعادل (یکی برای برش و دو تا برای لنگرهای خمشی) نوشت و در هر عضو شبکه سه مجهول (یک برش و دو لنگر خمشی) وجود دارد، درجه نامعینی شبکه برابر است با:

(D.I. = (۳M + R) – (۳N + C

قابل ذکر است که در شبکه منظور از عضو، تیری است که فقط در دو سر آن گره باشد و نه در وسط آن. در شبکه در محاسبه عکس العملهای تکیه گاهی تفاوتی بین دو نوع تکیه گاه مفصلی و تکیه گاه غلطکی نیست، چون در هر دو تکیه گاه دو مؤلفه عکس العمل تکیه گاهی که در صفحه شبکه هستند صفر میباشند و تنها مجهول این تکیه گاهها یک عکس العمل در راستا عمود بر صفحه شبکه است و ۱ = R می باشد. برای روشن شدن مطلب به ذکر مثال می پردازیم:

مثال: درجه نامعینی شبکه زیر که در آن همه اتصالات صلب هستند را بدست آورید؟

پاسخ:

M= 12, N= 12, C= 0

R=(6×۳)+۱+۱ =۲۰

D.I.= (3M+ R)-(3N+ C) = (3×۱۲+۲۰) – (۳×۱۲+۰)=۲۰

یادآوری می شود که در تمام روابط مربوط به درجه نامعینی منظور از N تعداد کل گره ها اعم از گره های تکیه گاهی و گره های غیر تکیه گاهی می باشد.

محاسبه درجه نامعینی قاب ها

در محاسبه درجه نامعینی قاب ها دو روش دیگر به نام های روش حلقه و روش درختی وجود دارد که ذیلا به شرح آنها می پردازیم:

روش حلقه

این روش فقط برای قاب های مسطح قابل استفاده است و به این صورت است که تکیه گاه های قاب را به یک گره مبدأ فرضی در زیر قاب وصل میکنیم. اگر تعداد حلقه های ایجاد شده برابر M و تعداد شرایط برابر C باشد چون هر حلقه معادل سه درجه نامعینی است بنابراین درجه نامعینی قاب برابر است با:

D.I. = 3M-C

در محاسبه C باید توجه داشت که چون در نظر گرفتن ۳ درجه نامعینی برای هر حلقه با فرض تکیه گاه های گیردار می باشد باید برخلاف روال عادی در محاسبه C ، برای هر تکیه گاه غیرگیردار، C را برابر تعداد مؤلفه هایی که باید به آن تکیه گاه اضافه کرد تاگیردار شود، در نظر گرفت، در نتیجه اگر تکیه گاه iام به تعداد Ri عکس العمل تکیه گاهی داشته باشد برای آن Ci = 3 – Ri می باشد.

مثال: درجه نامعینی قاب مقابل را بدست آورید؟

پاسخ: با استفاده از روش حلقه اگر مطابق شکل زیر تکیه گاه های A و B و C را به مبدأ فرضی O در زیر قاب وصل کنیم ۸ حلقه بوجود می آید. در گره H پنج عضو به یکدیگر مفصل شده اند و بنابراین ۴ = C، در تکیه گاه های A و C لنگر خمشی و برش برابر صفر است و بنابراین در این تکیه گاه ها ۲ = C است و داریم:

D.I. = 3M – C = 3×۸ – (۴+۲+۲) =۱۶

با استفاده از رابطه کلی درجه نامعینی قاب مسطح نیز همین مقدار بدست می آید:

M=14 , N=9 , R=5 , C=4

D.I.=(3M+R) – (3N+C)=(3×۱۴+۵) – (۳×۹+۴)= ۱۶

روش درختی

این روش برای هر دو نوع قاب مسطح و فضایی قابل استفاده است. در این روش با برش هایی، قاب به درخت های (ستون های) معین تبدیل می شود. با فرض اینکه تعداد کل برش ها M و تعداد شرایط C باشد این روش را برای قاب های مسطح و فضایی بررسی میکنیم:

۱- قاب مسطح: در قاب مسطح هر برش شامل سه مؤلفه مجهول است (برش و لنگر خمشی و نیروی محوری) بنابراین درجه نامعینی قاب برابر است با D.I. = 3M – C ،در نظر گرفتن ۳ درجه نامعینی برای هر برش با فرض تکیه گاه های گیردار می باشد و باز باید برخلاف روال عادی در محاسبه C برای هر تکیه گاه غیرگیردار، C را برابر تعداد مؤلفه هایی که باید به آن تکیه گاه اضافه کرد تا گیردار شود در نظر گرفت، در نتیجه اگر تکیه گاه  iام به تعداد Ri عکس العمل تکیه گاهی داشته باشد برای آن Ci = 3- Ri می باشد.

مثال: درجه نامعینی قاب مقابل را بدست آورید؟

پاسخ: با استفاده از روش درختی مطابق شکل زیر با ۶ برش می توان قاب را به ستون های مجزا تبدیل نمود. در گره K سه عضو به هم متصل شده اند و بنابراین ۲ = C می باشد، در تکیه گاه A برش برابر صفر است و C=1، در تکیه گاه D هم برش و هم لنگر خمشی برابر صفر است و ۲ = C می باشد و داریم:

 D.I.= 3M – C = 3×۶ – (۲+۱+۲) = ۱۳

با استفاده از رابطه کلی درجه نامعینی قاب مسطح نیز همین مقدار بدست می آید:

M=14 , N=12 , R=9 , C=2

D.I.= (3M+R) – (3N+C) = (3×۱۴+۹) – (۳×۱۲+۲) = ۱۳

۲- قاب فضایی: در قاب فضایی هر برش شامل شش مؤلفه مجهول است (دو برش و دو لنگر خمشی و یک لنگر پیچشی و یک نیروی محوری)، بنابراین درجه نامعینی قاب برابر است D.I.= 6M-C درنظر گرفتن ۶ درجه نامعینی برای هر برش با فرض تکیه گاه های گیردار میباشد باز باید در محاسبه C برخلاف روال عادی برای هر تکیه گاه غیرگیردار، C را برابر تعداد مولفه هایی که باید به آن اضافه کرد تا گیردار شود در نظر گرفت، در نتیجه اگر تکیه گاه iام به تعداد Ri عکس العمل تکیه گاهی داشته باشد برای آن Ci = 6 – Ri میباشد.

مثال: درجه نامعینی قاب مقابل را بدست آورید؟

پاسخ: با استفاده از روش درختی اگر در هر تیر قاب یک برش بزنیم قاب به چهار ستون تفکیک می شود و بنابراین چهار برش لازم است.

در گره های F و H سه عضو به یکدیگر مفصل شده اند و بنابراین در این گره ها C= 3(3-1) = 6 می باشد. همانطور که گفته شد در قاب فضایی باید به تعداد اعضای دو سر مفصل که سه تا هستند (اعضای BF و FH و DH) از تعداد شرایط کاست.

در تکیه گاه B سه لنگر خمشی برابر صفر است و ۳ = C می باشد، در تکیه گاه D تنها عکس العمل تکیه گاه، عکس العمل قائم آن می باشد و بنابراین ۵ = C است و داریم:

۷ = (۵+۳+ ۳ – ۲×۶) – ۴×۶ = D.I. =6M – C

با استفاده از رابطه کلی درجه نامعینی قاب فضایی نیز همین مقدار بدست می آید:

M=8 , N=8 , R=2×۶+۳+۱= ۱۶ , C=2×۶-۳=۹

D.I. = (6M + R) – (6N + C) = (6×۸+۱۶) – (۶×۸ +۹) =۷