آموزش etabs

انتگرال چندگانه

بازدید: ۵۸۳

یکی از مشکلات عمده دانشجویان در درس ریاضی مبحث انتگرال و انتگرال چندگانه هستش که خیلی از بچه ها به دلیل سختی، این مبحث رو نمیخونن اما همیشه این درس گریبان گیر تمام بچه های مهندسی هست.

انتگرال چندگانه

در این مطلب میخوایم انتگرال چندگانه رو با هم یاد بگیریم، بعد از خواندن این مطلب، متوجه میشید که مبحث سختی نیست.

۱-انتگرال دوگانه:

تعریف: فرض کنیمدامنه 1 یک ناحیه ی بسته و کران دار باشد و f روی D کران دار باشد، برای سادگی فرض کنیم که D یک مستطیل است.

فرمول 1

یک افراز مانند P برای D برابر حاصلضرب افراز های P1 و P2 برای [a,b] و [c,d] است.

شکل 1

فرمول شکل 1

فرمول 2

فرمول 3

انتگرال بالایی f روی D را به صورت زیر تعریف می کنیم.

اگر نقطه دلخواه مختصات 1 را در هر Rij انتخاب کنیم، آنگاه می توانیم هر قسمت از رویه را که بالاب Rij قرار دارد به صورت مکعب مستطیل های باریکی در نظر بگیریم مطابق شکل زیر قرار میدهیم.

شکل 2

فرمول شکل 2

که در آن (S(p,f مجموع حجم مکعب مستطیل می باشد.

تعریف: اگر حد  موجود و متناهی باشد آن مقدار حد را انتگرال دوگانه f روی D نامیده و به صورت

انتگرال دوگانه 1

نشان می دهیم.

انتگرال دوگانه 2

و انتگرال پایینی f روی D مشابهاً به صورت زیر تعریف میشود.

انتگرال دوگانه 3

تعریف: اگر  آنگاه f را روی D انتگرال پذیر می نامیم و انتگرال  f روی D به صورت های زیر نشان میدهیم.

اگر دامنه 2  یک جعبه n بعدی باشد، آنگاه;

فرمول 4

و f روی D کران دار باشد آن گاه انتگرال f روی D مشابه فوق تعریف میشود، و به صورتانتگرال نشان داده میشود.

اگر دامنه 3 آنگاه:

انتگرال سه گانه

نکته: اگر دامنه 4  بسته و گران دار دلخواه باشد و چون D کران دار است پس در یک جعبه n  بعدی مانندD جای دارد.

انتگرال چندگانه 1

تعریف میکنیم.

فرمول 5

و

انتگرال 3

قضیه: اگر تابع f روی ناحیه ی بسته و کران دار D در R^n پیوسته باشد آنگاه f روی D انتگرال پذیر است.

بنابراین در این درس همواره فرض بر این است که f پیوسته باشد لذا نیازی به بررسی انتگرال پذیری نمی باشد فقط روش های محاسبه ی انتگرال مورد نظر می باشد.

خواص انتگرال چند گانه

فرض کنید دامنه 5 بسته و کران دار باشد و f و g روی D انتگرال پذیر باشند، آنگاه:

۱) انتگرال 4

۲)اگر فرمول 6  برای هر هر x عضو دامنه آنگاه

انتگرال 5

۳) انتگرال 6  برای هر عدد حقیقی a.

۴) انتگرال 7 که در آن µ(D) اندازه D است.

(اگردامنه 6 باشد آنگاه µ(D) برابر طول D است، اگردامنه 7باشد آنگاه µ(D) مساحت D است اگردامنه 8 آنگاه µ(D) برابر حجم D است.)

۵) اگراجتماع D1 تا Dk به طوری کهاشتراک Di و Dj برابر تهی (میتوانند مرز مشترک داشته باشند) وقتی کهi مخالف j در این صورت انتگرال روی اجتماع برابر است با:

مجموع انتگرال D1 تا Dk

۶) اگردامنه 9 و  فرمول 7  برای هر x و y عضو دامنه D آنگاه انتگرال  برابر است با حجم ناحیه ی محدود بین رویه ی رویه و D.

(انتگرال دوگانه همواره حجم نمی دهد اما اگرf بزرگتر مساوی صفر باشد آنگاه حجم را محاسبه میکند.)

۷) تعبیر کلی (کاربرد) برای انتگرال های n گانه به صورت زیر است:

اگر تابع f مشخص کننده ی چگالی ماده ای در هر نقطه از جسم D باشد آنگاه انتگرال 6 مشخص کننده ی کل ماده ی موجود در جسم D است.

فرمول 8

۹) اگر f روی ناحیه ی بسته و کران دار دامنه 10 پیوسته و کران دار باشد آنگاه نقطه ی x0 عضو دامنه D وجود دارد به طوری که:

فرمول 9

۱۰) میانگین تابع f روی D برابر است با

فرمول 10

روش های محاسبه ی انتگرال های چند گانه:

الف)انتگرال دوگانه: برای محاسبه انتگرال انتگرال دوگانه 5 براساس وضعیت ناحیه ی D چهار حالت داریم:

۱) D یک مستطیل است.

فرمول 11 و 12

برای محاسبه انتگرال نسبت به هر یک از متغیر ها، متغیر دیگر را ثابت در نظر میگیریم.

پرسش: آیا میتوان گفت پرسش- فرمول 13 ؟

در حالت کلی جواب منفی است ولی قضیه ی فوبینی مهم می باشد.

قضیه فوبینی: اگر f روی D پیوسته باشد آن گاه داریم:

قضیه فوبینی

برای ادامه یادگیری انتگرال چند گانه بر روی لینک دانلود راست کلیک کرده و گزینه save link as… را انتخاب کنید.

 

نظر شما چیست؟

لطفاً نظرات خود را وارد کنید!
لطفا نام خود را در اینجا وارد کنید